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一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性

时间:2016-01-16  作者:张小炳
本文研究了一类四阶非线性Schrödinger方程初边值问题在任意维空间中的有界性,其结果在研究整体解时是非常重要的。
论文关键词:四阶,非线性Schrödinger方程,,有界性
我们考虑这样一类非线性Schrödinger方程的初边值问题 |keyimg3||keyimg3|, (1.1) |keyimg3|一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性, (1.2) 有界性, , (1.3) 其中,为复值函数,&,&为速降函数空间,四阶充分光滑,为实数。 方程(1.1)-(1.3)具有特定的物理背景,且在数学理论上是一类非线性发展方程,因此对方程(1.1)-(1.3)的研究具有实际意义和理论意义。 为了研究方程(1.1)-(1.3)整体解的存在唯一性,需要解在空间中的有界性质作为前提。时,文[1~5]研究了方程(1.1)-(1.3)整体解的存在唯一性及渐近性质,文[6~7]讨论了方程(1.1)-(1.3)解的有界性。时,关于方程(1.1)-(1.3)解的有界性的研究,就作者所知还是较少的。本文就时给定初值一定要求前提下,用文[7]的方法得到了方程(1.1)-(1.3)解的有界性。 记号:简记|keyimg3|,一切常数除注明者外,均以表示,且与无关,且不同地方出现的值可能不同,但为了方便,我们仍以记之,其余记号都是标准的。 2 引理 因在奇维空间中的情形证明过程类似于偶维空间,我们不妨先讨论偶维情况。 引理1 对任意复值函数一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性,如果 一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 (2.1) 那么有 一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性。 (2.2) 引理2 设为正的可积函数,为有界区域,则存在只与有关的常数,使得 非线性Schrödinger方程 (2.3) 成立,其中非线性Schrödinger方程 引理3[7] 设四阶,如果 有界性 (2.4) 那么有 非线性Schrödinger方程 (2.5) 证明 根据复合函数求导法则,知 四阶 (2.6) 其中 一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 可算出 非线性Schrödinger方程 非线性Schrödinger方程 |keyimg3| 非线性Schrödinger方程 中每一项对求导的阶数与求导因子次数之和等于,并且各导数因子的次数最大为,我们将一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性展开,注意到,展开式中的各项具有下列乘积形式: 有界性 (2.7) 其中,|keyimg3|分别取自非线性Schrödinger方程的表达式中的某一项,在非线性Schrödinger方程中的因子的最大个数是1,2,…,r。整理(2.7)式,其形式是 有界性 (2.8) 可以得知 有界性 有界性 四阶,考虑(2.8)式,则(2.6)式化为 有界性 由假设知,四阶为与无关的常数),因此 一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 则有 非线性Schrödinger方程 由赫尔特不等式,得 一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 (2.9) 由(2.4)式可知,(2.9)式的右端为与无关的常数,因此有 非线性Schrödinger方程 根据引理2,有 有界性 因此,非线性Schrödinger方程 3 主要结论 定理 如果|keyimg3|有界,并且 四阶 有界性 那么,方程⑴的解满足 有界性 (3.1) 证明 对(1.1)式两端同时作用,设,有 非线性Schrödinger方程 (3.2) |keyimg3| (3.3) 对(3.3)式两端同时乘以,并且在上对积分,得 有界性 用分部积分法,得 四阶 (3.4) 取(3.4)式共轭,得 非线性Schrödinger方程 (3.5) (3.4)式加上(3.5)式,可得 非线性Schrödinger方程 也即 非线性Schrödinger方程 (3.6) 对于有界性,记有界性,则一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性四阶 非线性Schrödinger方程 一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 (3.7) 类似地,对非线性Schrödinger方程,有 四阶 (3.8) 将(3.7)式,(3.8)式代入(3.6)式,得 四阶 上积分,得 一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性(3.9) 其中,为常数。(3.9)式可写成 有界性 |keyimg3| (3.10) 从(3.10)式看出,右端是类似的,只须证有界。 由于 一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 (3.11) 只须证 |keyimg3| 中有界的,其中上的实参数。  1/2    1 2 下一页 尾页
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